▲  신영희 박사    © UWNEWS

가을이면 ‘벌을 조심하라’는 경고문을 어렵지 않게 볼 수 있다. 여름동안 무성해진 잡초를 제거하는 과정에서 무심코 건드린 벌들에게 공격당한 사고 소식을 접하면 벌은 사람을 위협하는 악당으로 오인된다.

수 만번의 날개짓으로 모은 달콤한 꿀을 제공하고 인류의 식량인 곡식과 과일의 수분을 담당하는 공로에도 불구하고 푸대접을 받는 억울한 곤충임에 틀림없다.

고대 그리스의 수학자인 파푸스(300~350)는 그의 저서 'The collection'의 제 5권의 서두에서 벌의 총명함을 예찬한 부분이 나온다. 위대한 기하학자인 그가 벌집의 오묘한 구조를 극찬하며 수학적인 해석을 덧붙였다.

「벌들은 신들의 음식인 꿀을 인류에게 전달해 주는 임무를 수행한다고 스스로 의심없이 믿고 있다. 이토록 귀한 꿀을 흙이나 나무 또는 부적절하거나 불규칙한 곳에 담지 않았다. 대지에서 자란 가장 달콤한 꽃에서 채취한 소중한 꿀을 담기 위해  정육각형 모양의 칸들을 빈틈없이 이어 붙인 구조를 가진 ‘벌집’(honeycomb)이라는 그릇을 만들었다......」

수학적으로는 둘레가 일정할 때 넓이가 최대인 도형은 원이다. 그러나 여러 개의 원을 이어 붙이면 틈새가 생기기 때문에 평면을 덮을 수가 없다. 정다각형 중에서도 오직 정삼각형, 정사각형, 정육각형만이 평면을 덮을 수 있다.

그러나 정삼각형은 같은 크기의 공간을 만드는데 정육각형에 비해 재료가 많고, 정사각형은 정육각형에 비해 구조가 튼튼하지 못하다. 따라서 최소의 재료로 가장 튼튼한 최적의 공간을 만들려면 정육각형이 가장 적합하다고 할 수 있다.

‘벌은 정육각형 모양의 벌집이 가장 경제적이고 안전하게 꿀을 가장 많이 저장 할 수 있는 구조임을 그들의 지혜로 알고 있다’고 파푸스는 적었다. 울산대교 전망대 매쓰투어에서 우리는 그 위대한 벌집구조를 찾을 수 있었다.

아이 : 울산대교의 굵은 주 케이블의 단면이 꼭 벌집 같아요.

辛  : 맞아요. 울산대교 공사를 빠르고 안전하게 마칠 수 있었던 비법이 바로 이 벌집구조에 있어요. 길이가 약 2km나 되고 두께가 쥬스빨대보다 얇은 철근을 공장에서 127개씩 나란히 정육각형 모양으로 배열한 후 묶어 만든 다발 단위로 가설을 한거죠. 그러면 한 번에 하나씩 가설할 때보다 속도는 100배나 더 빠르겠지요? 그리고 바다 바람에 서로 엉킬 염려도 없겠지요? 그럼 왜 동그랗게 묶지 않고 하필 육각형 묶음을 선택했을까요?   

아이 : (울산대교 단면을 보며) 육각형모양이라야 빈틈이 없이 붙일 수 있어요. 둥글게 묶으면 빈 공간이 더 많이 생겨요. 그런데 왜 100개가 아니고 127개 인가요?

辛  : 빙고! 먼저, 둥근 철근들을 6각형 구조로 나란히 쌓아 놓은 이유는 바로 ‘빈틈이 가장 적고 안전하게 쌓는 방법’이고 그것을 육각형 모양으로 묶으면 그 둘레의 길이 또한 가장 작게 되어 경제적입니다. 마치 꿀벌들이 밀랍으로 벌집을 만들 때 재료를 가장 아끼고도 가장 튼튼하고 넓은 벌집을 짓는 것과 같답니다.

자~이제 왜 철근을 127개씩 어떻게 정육각형 모양으로  배열하는 지 찾아보는 것이 오늘의 미션입니다.

1층 전시실에 전시된 모형에서 금방 답을 찾아 해결을 해버렸지요. 127개를 배열하는 방법은 육각형의 한변에 7개씩 닿도록 배열하는 방법은 아래로부터 7개, 8개 ,9개, ..., 차례로 하나씩 수를 증가시켜 7단을 놓은 후 다시 하나씩 줄여가며 사이사이에 쌓는 방법입니다.

「127= 7+8+9+10+11+12+13+12+11+10+9+8+7 」

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매쓰투어 이 후, 아이들은 ‘정육각형 안에 동그라미를 그려보는 활동’으로 육각형을 메우는 동그라미 수의 재미있는 규칙을 찾았고, 그래서 왜 127개씩 묶었는지도 알게 되었습니다. 육각형 다발안의 철근의 개수는 한 변에 닿는 원의 개수를 늘려감에 따라 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169...와 같이 늘어난다는 것과 그것이 모두 ‘홀수라는 것’도 ‘중심에서 6의 배수만큼 키워가는 규칙’도 알게 되었습니다.

<학생과 교사를 위한 추가 코멘트>

필자는 초·중·고 수학교육 현장에서 포물선의 소재로 주로 언급되는 오래된 시드니의 하버브릿지를 대신하여 울산대교가 쓰이기를 간절히 희망한다. 수학적으로 보다 간결하고 정확한 수식을 제공하며 무엇보다 현수교 모델로써 세계 초장대교량 시장에 내놓은 우리 기술의 집약체이기 때문이다.

울산대교 투어 후 홍보관에서 수집한 자료를 토대로 탐구할 수 있는 추가 수학 주제들입니다.

-벌집구조 실험 : 구슬이나 음료수 캔 배열실험, 중심있는 육각수의 규칙찾기

-이차함수 포물선 탐구하기, 직선의 기울기 계산해보기, 주탑 좌우의 기울기 계산하기

-미분과 적분의 전 분야 : 차량 속도 구간 단속제도와 미분, 주 케이블 곡선의 길이

-케이블 장력의 균형을 위한 기술적 보완(보강 스트랜드)

▲  대구동중 수학과학 동아리 학생들   © UWNEWS

▲  신영희 박사가 수업을 이어가고 있다.   © UWNEWS

※울산하버브릿지주식회사 배준환 과장님의 친절한 설명에 이 자리를 빌어 감사드립니다.